宋末南徐州從事史祖沖之更開密法以圓徑一億爲一丈圓周盈數二丈一尺四寸一分五釐九毫二秒七忽朒數三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒六忽正數在盈朒二限之間密率圓徑一百一十三圓周三百五十五約率圓徑七周二十二又設開差羃開差立兼以正圓參之指要精密算氏之最者也所著之書名爲綴術學官莫能究其深奥是故廢而不理-----魏征《隋书》
祖沖之以算術考之積凡一千五百六十二寸半方尺而圜其外減傍一八毫其徑一尺四寸一分四毫七秒二忽有奇而深尺即古斛之制也九章商程粟一斛積二千七百寸米一斛積一千六百二十寸菽合麻麥一斛積二千四百三十寸此據精麤爲率使價齊而不等其器之積寸也以米斛爲正則同于漢志孫子算術曰六粟爲圭十圭爲秒十秒爲撮十撮爲勺十勺爲合應劭曰圭者自然之形隂陽之始四圭爲撮孟康曰六十四黍爲圭漢志曰量者龠合升斗斛也所以量多少也本起於黄鍾之龠用度數審其容以子榖秬黍中者千有二百實其龠以井水凖其概十龠爲合十合爲升十升爲斗十斗爲斛而五量嘉矣其法用銅方尺而圜其外旁有庣焉其上爲斛其下爲斗左耳爲升右耳爲合龠其狀似爵以縻爵禄上三下二參天兩地圜而函方左一右二隂陽之象也其圍象規其重二鈞備氣物之數合萬有一千五百二十也聲中黄鍾始於黃鍾而反覆焉其斛銘曰律嘉量斛方尺而圜其外庣旁九五毫羃百六十二寸深尺積一千六百二十寸容十斗祖沖之以圓率考之此斛當徑一尺四寸三分六氂一毫九秒三忽庣旁一分九毫有奇劉歆庣旁少一氂四毫有奇歆數術不精之所致也魏陳留王景元四年劉徽注九章商功曰當今大司農斛圓徑一尺三寸五分五氂深一尺積一千四百四十一寸十分之三王莽銅斛於今尺爲深九寸五分五徑一尺三寸六分八七毫以徽術計之於今斛爲容九斗七升四合有奇此魏斛大而尺長王莽斛小而尺短也-----魏征《隋书》
祖冲之在数学方面的成就，首先应该叙述的乃是关于圆周率的计算。在中国古代，也和世界上任何文化开发较早的国家和地区一样，最早被人们使用的圆周率是3。这一误差很大的数值，在中国一直被沿用到汉代。入汉以后，对圆周率的改进吸引了不少科学家的注意，例如刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗等人都进行了研究。在许多人的工作中，生活于魏晋之际的数学家刘徽的研究最为重要。假如把刘徽称为是祖冲之的先行者，那他确实是当之无愧的。
刘徽在计算圆面积的过程中，实际上也计算了圆周率。刘徽从圆的内接正6 边形起算，依次将边数加倍，分别求出内接正12，24，48，..等内接正多边形的一边之长，从而算出内接正24，48，96，..等正多边形的面积。边数增加的越多，内接正多边形面积与其外接圆面积之差愈小，算得的圆面积也就愈准确，求得的圆周率也就更加精密。边数增加愈多，像是把圆愈割愈细，因此刘徽的这种方法称为“割圆术”(载于现有157传本的刘徽注《九章算术》之中）。刘徽用这种方法求得圆周率50 (相当于π= 3.14 ），也有人认为他还算得了
3927 （相当于π= 3.1416 ）。1250 关于祖冲之在圆周率方面的工作，其史料仅见于《隋书·律历志》，但记载过于简略，下面就是此段记载的原文：“古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒各设新率，未臻折衷。宋末，南徐州从事史祖冲之更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈二数之间。密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率：圆径七，圆周二十二。”这段记载说明：(1)祖冲之的圆周率方面的工作，是在刘歆、张衡、刘徽等人工作之上“更开密法”的。(2)他以1 亿为1 丈，即由108——九位数字开始进行计算。(3)他算得过剩近似值和不足进似值，同时指出真值在过剩、不足二近似值之间，相当于算得了3.1415926＜π＜3.1415927。圆周率的这一数值作到了小数点后7 位数字准确。(4)他还给出了两个近似分数值，即关于祖冲之如何算得如此精密结果，关于他所使用的方法，则没有任何史料流传下来，这是非常遗憾的。不过，根据当时的情来进行判断，除开继续使用刘徽“割圆术”之外，并不存在有其他方法的任何可能性。清代的数学史家大都认为“厥后祖冲之更开密法，仍割之又割耳，未能于徽法之外别有新法也”(阮元《畴人传·祖冲之传》)，梅文鼎的著作以及《数理精蕴》等书，也都持这种观点。实际上，如按刘徽方法“割之又割”，继续算至圆内接正12288 边形和正24576 边形，得出内接正12288 边形面积：S12288=3.14159251 方丈，内接正24576 边形面积：S24576=3.14159261 方丈。又据刘徽割圆术可得下列不等式(式中S 表示圆面积)：S24576＜S＜S24576+(S24576-S12288),即可得出3.14159161＜π＜3.14159271，而这正是《隋书·律历志》所给出的盈二限。
把1 丈化为1 亿，从圆的内接正6 边形算至正24576 边形(=6×212 边形)，需要把同一个计算程序反复12 次，而每个计算程序又包括加、减、乘、除、开方等10 余个步骤。因此，祖冲之为了求得自己的结果，就要从100000000(9 位数字)算起，反复进行加、减、乘、除、开方等运算130 次以上。既使是今天，用纸和笔进行这样的计算，也绝不是一件轻松的事，更何况中国古代的计算都是用罗列算筹来进行的。可以想象，这在当时是需要何等的精心和超人的毅力。
由于在中国古代有利用分数进行计算的习惯，祖冲之还给出了密率(355)和约率(22 )。1137
一个无理数可以用连分数形式来进行表示，例如圆周率即可表示成连分数：111 1或记为π=3+ 7 + 15 + 1 + 292 + ..，也可以记成π= [3 ，7，15， 1，292，..]，依次截取、计算即可得出一串关于π的数值，例如1 22π = 3 += ，77 1 1 333π = 3 + 7 + 15 = 106 （相当于π= 3.141509431 ）， 1 1 1355π = 3 ++ += 7 15 1 113 1 1 1 1 103993π = 3 + 7 + 15 + 1 + 292 = 33102 （相当于π=3.141592653)，..P这一串数值都是最佳渐近分数值（即这串数值Q ，都是在所有分母不大于Q 的分数中与π最接近的分数值)。但是反过来说，最佳渐近分数值却
不一定都是由连分数来算得的。例如在103993 之前即在分母小于33102(33102 的分数中）还有许多个最佳渐近分数值，最靠近355 的是52163 。因此113 16604 也可以说，在分母小于16604的近似分数值中，355 是最佳分数，最与113π接近。但直到目前为止，我们还没有发现任何证据足以说明中国古代已有连分数的应用。
在中国古代的天文历法的计算中，曾有过一种逐渐调整分母和分子数值以求得使分数值更加接近真值的方法，叫作“调日法”。宋代的学者认为“调日法”始自南北朝时期稍早于祖冲之的何承天。“调日法”的基本ac 分别为不足和过剩近似分数，则适当选取m， ，新内容是：假如b ， dn 得出的分数ma + nc 有可能更加接近真值。例如由157 （刘徽）和22 mb + nd 507 (祖冲之约率)即可算得157×1 + 22×9 355 = 50×1 + 7×9 113 又由3 （古率）和22 亦可算得3×1 + 22×16 = 355 。用“调日法”算得1 71×1+ 7×16 113355的分数值，再用割圆术求得的精确数值来校验，即可断定113 为“密率”。
在西方，直到1573 年，德国数学家V．奥托(1550—1605)方才算得355 这一数值；而在一般西方数学史著作中却常误以为这一数113 值是荷兰工程师A．安托尼兹（527—1607)得到的，因而355 355称113为安托尼兹率。日本数学史家三上义夫（1875—1950主张将113 这一圆周率数值称为“祖率”。355按《隋书·律历志》的记载，祖冲之曾用113 这一圆周率来校算王莽所造的量器——“律嘉量斛”。约率22 虽仅精确至小数点后二位数字，7 但使用起来是方便的。
关于球体体积的计算，乃是祖冲之在数学方面的又一项成就。祖冲之在批驳戴法兴的“驳议”中说：“至若立圆(球体)旧误，张衡述而弗改，.. 此则算氏之剧疵也..臣昔以暇日，撰正众谬”，可见这也是祖冲之早年的工作。然而在7 世纪，在唐代李淳风为《九章算术》所写的注文中，却把它作为“祖开立圆术”加以引述，因而也可以认为这是一项祖氏父子共同的研究结果。在中国古代，例如在《九章算术》中，是按外切圆柱体与球体体积之比等于正方形与内切圆面积之比来进行球体体积计算的。刘徽指出了这一错误并正确地提出“牟合方盖”(垂直相交的二圆柱体的共同部分)与其内切球体体积之比，方才等于正方形与其内切圆面积之比。但是他却未能求出“牟合方盖”的体积。这一问题被祖氏父子解决了。祖氏父子的方法是：首先取一立方体(高=半径r)，以左下角为心，r 为半径，分纵横二次各截立方体为圆柱体(如图1)。如此，立方体将被分成四部分：两个圆柱体的共同部分(即“牟合方盖”的1/8，祖氏父子称之为“内棋”，如图2)，以及其余的三部分(“外三棋”，如图3，4，5)。其次为算出“内棋”体积，他们先算出“外三棋”体积。方法是：将内、外棋再合成一个立方，在高为h 处作一平行于底的平面(如图6)。如设“外三棋”的横截面面积为S，则S=r2-(r2-h2)=h2。
再取一个高与底方每边长度均为r 的方锥，倒立之，则易算得这个方锥在高为h 处的横截面积亦为h2。
再次，“外三棋”和方锥在等高处的截面积总是相等，祖氏父子说“叠棋成立积，缘幂势同则积不容异”，这两个立体体积不容不等。于是算得“外三棋”体积与一个方锥体体积相等，即等于1/3 立方体，从而算得“牟合方盖”体积为2/3 立方体。最后再应用刘徽的成果：球体积：“牟合方盖”体积=圆面积：外切方面积从而求得球体积的正确公式：2球体积=πr2 · 2 (2r) 3 = 4 πr3。(2r)3 4 在这里，祖氏父子应用了“缘幂势既同则积不容异”的原理，这一原理和意大利数学家B．卡瓦列里(1598—1647)所提出的“卡瓦列里公理”的意义是相同的。按道理，应该将“卡瓦列里公理”改称之为“祖氏公理”。
在谈到祖冲之在数学方面的成就时，我们还应提到那部失传已久的《缀术》。《隋书·律历志》在记述了祖冲之在圆周率方面的成就之后说：“(祖冲之)..又设开差幂、开差立，兼以正员(按：应为“负”)参之，指要精密，算氏之最者也。所著之书称为《缀术》，学官莫能究其深奥，是故废而不理。”唐代王孝通在其所著《缉古算经》的“自序”中说“祖之《缀术》(在古代史料中，多有将《缀术》记为祖所撰者)时人谓之精妙，曾不觉方邑进行之术，全错不通，刍甍、方亭之问，于理未尽”。根据这二条资料，可知《缀术》的内容有“开差幂、开差立”、有“方邑进行之术”、有“刍甍、方亭之问”。这些问题，据研究推断，可能是一些有关二、三次方程的解法，“兼以正负参之”也可能是指其中的系数可正可负。假如这种推断是对的，那么可以说这些成果成为后世宋元时期中国数学家高次方程解法的先声。――中科院科学家词典编辑组《中国科学家传记》科学出版社２０００年版
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